Лекции по теории интегральных уравнений

В связи с этим было введено понятие равномерной С., свободное от этих недостатков: последовательность {fn (x)} называется равномерно сходящейся к f (x) на множестве М, если   Этот вид С. соответствует определению расстояния между функциями f (x) и ((х) по формуле   Д. Ф. Егоров доказал, что если последовательность измеримых функций сходится почти всюду на множестве М, то из М можно так удалить часть сколь угодно малой меры, чтобы на оставшейся части имела место равномерная С.   В теории интегральных уравнений, ортогональных рядов и т. д. широко применяется понятие средней квадратической С.: последовательность {fn (x)} сходится на отрезке [a, b] в среднем квадратическом к f (x), если   . Более общо, последовательность {fn (x)} сходится в среднем с показателем р к f (x), если   . Эта С. соответствует заданию расстояния между функциями по формуле   . Из равномерной С. на конечном отрезке вытекает С. в среднем с любым показателем р. Последовательность частичных сумм разложения функции j(х) с интегрируемым квадратом по нормированной ортогональной системе функций может расходиться в каждой точке, но такая последовательность всегда сходится к j(х) в среднем квадратическом ...»