О числе целых точек внутри круга

Дирихле первыми стали рассматривать проблему о количестве целых точек в областях на плоскости. К. Гаусс доказал, что число целых точек в круге X 2 +Y 2 GBP R 2 равно pR 2 + O (R ), а П. Дирихле, в свою очередь, доказал, что число целых точек с положительными координатами под гиперболой xy = N равно где С — Эйлера постоянная . Обобщения этих двух предложений, а также нахождение наилучших возможных остатков в написанных формулах (проблема целых точек в круге Гаусса и проблема делителей Дирихле) послужили источником большой главы Ч. т.   Теоремы о бесконечности числа простых чисел в арифметич. прогрессиях частного вида, таких, как 4k ± 1, 6k ± 1, были известны давно, однако только П. Дирихле удалось доказать общую теорему о бесконечности числа простых чисел в прогрессиях вида nk + l , n = 0, 1, 2,...,   где k (разность прогрессии) и l (первый её член) взаимно просты. Он рассмотрел аналог эйлерова произведения по всем простым числам вида   где c(p ) удовлетворяет условиям: не равна тождественно нулю, периодическая x (n + k ) = c(n ) с периодом k , вполне мультипликативная, т. е. c(nm ) = c(n )c(m ) при любых целых n и m ...»